一様分布の性質

Takeda Katsuji2025/09/16約3分

一様分布の性質

1. 確率密度関数

確率密度関数 (PDF)

区間 $[a, b]$ の一様分布の確率密度関数は次の通り：

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{b - a}, & a \leq x \leq b, \\ 0, & otherwise . \end{cases}

確率密関数のグラフ

2. 累積分布関数

累積分布関数 (CDF)

F (x) = {\begin{cases} 0, & x < a, \\ \frac{x - a}{b - a}, & a \leq x \leq b, \\ 1, & x > b . \end{cases}

累積分布関数のグラフ

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導出

累積分布関数は

F (x) = P (X \leq x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t

で定義される. 区間 $[a, b]$ の一様分布について場合分けすると：

$x < a$ のとき

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t = 0

$a \leq x \leq b$ のとき

\begin{aligned} F (x) & = \int_{a}^{x} \frac{1}{b - a} d t \\ = \frac{x - a}{b - a} \end{aligned}

$x > b$ のとき

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t = 1

結果

F (x) = {\begin{cases} 0, & x < a, \\ \frac{x - a}{b - a}, & a \leq x \leq b, \\ 1, & x > b . \end{cases}

3. 期待値

期待値

E [X] = \frac{a + b}{2}

期待値は区間の中点を表しています.

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導出

確率変数 $X \sim Uniform (a, b)$ の場合，

E [X] = \int_{a}^{b} x \cdot f (x) d x = \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b - a} d x

積分すると，

E [X] = \frac{1}{b - a} {[\frac{x^{2}}{2}]}_{a}^{b} = \frac{1}{b - a} \cdot \frac{b^{2} - a^{2}}{2} = \frac{a + b}{2} .

4. 分散

分散

Var [X] = \frac{(b - a)^{2}}{12}

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導出

確率変数 $X \sim Uniform (a, b)$ の場合，

$X^{2}$ の期待値 $E [X^{2}]$ は

\begin{aligned} E [X^{2}] & = \int_{a}^{b} \frac{x^{2}}{b - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} {[\frac{x^{3}}{3}]}_{a}^{b} \\ = \frac{b^{3} - a^{3}}{3 (b - a)} \\ = \frac{b^{2} + a b + a^{2}}{3} \end{aligned}

したがって，

\begin{aligned} Var [X] & = E [X^{2}] - E [X]^{2} \\ = \frac{b^{2} + a b + a^{2}}{3} - \frac{(b + a)^{2}}{4} \\ = \frac{(b - a)^{2}}{12} \end{aligned}

5. 積率母関数

積率母関数 (MGF)

M_{X} (t) = {\begin{cases} \frac{e^{b t} - e^{a t}}{(b - a) t}, & t \neq 0, \\ 1, & t = 0. \end{cases}

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導出

積率母関数は

M_{X} (t) = E [e^{t X}] = \int_{a}^{b} e^{t x} \frac{1}{b - a} d x

$t \neq 0$ の場合：

M_{X} (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} e^{t x} d x = \frac{1}{b - a} {[\frac{1}{t} e^{t x}]}_{a}^{b} = \frac{e^{b t} - e^{a t}}{(b - a) t} .

$t = 0$ の場合：

M_{X} (0) = E [1] = 1.

6. 特性関数

特性関数 (CF)

φ_{X} (t) = {\begin{cases} \frac{e^{i b t} - e^{i a t}}{(b - a) i t}, & t \neq 0, \\ 1, & t = 0. \end{cases}

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導出

特性関数は

φ_{X} (t) = E [e^{i t X}] = \int_{a}^{b} e^{i t x} \frac{1}{b - a} d x

$t \neq 0$ の場合：

φ_{X} (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} e^{i t x} d x = \frac{1}{b - a} {[\frac{1}{i t} e^{i t x}]}_{a}^{b} = \frac{e^{i b t} - e^{i a t}}{(b - a) i t} .

$t = 0$ の場合：

φ_{X} (0) = E [1] = 1.

一様分布の性質

一様分布の性質

1. 確率密度関数

2. 累積分布関数

3. 期待値

4. 分散

5. 積率母関数

6. 特性関数

参考文献

増訂版日本統計学会公式認定統計検定１級対応統計学

新装改訂版　現代数理統計学