標準正規分布の t 次モーメント

Takeda Katsuji2025/09/22約1分

標準正規分布の t 次モーメント

ここでは，標準正規分布における $t$ 次モーメントを導出します．

t 次モーメント

標準正規分布 $X \sim N (0, 1)$ に対して，

E [X^{t}] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{t} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} x^{2}} d x

E [X^{t}] = {\begin{cases} 1 & (t = 0) \\ 0 & (t が奇数) \\ (2 k - 1)!! & (t = 2 k \geq 2) \end{cases}

方針

導出の流れは次の通りです．

ガウス積分の確認
$t$ 次モーメントの計算

ガウス積分

ガウス積分とは，次の積分を指します．

I = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- a x^{2}} d x

これは閉じた形で初等関数による評価はできませんが，極座標変換を用いることで

I = \sqrt{\frac{π}{a}}

が得られることが知られています．

この結果は正規分布の正規化やモーメント計算の基礎として重要です．

ガウス積分の諸公式

一般に

I_{n} = \int_{- \infty}^{\infty} x^{n} e^{- a x^{2}} d x (a > 0)

とおくと， $n$ の偶奇で結果が分かれます．

$n$ が奇数のとき
integrand が奇関数となるため，
$I_{n} = 0$
$n$ が偶数のとき， $n = 2 k$ とおくと，
$I_{2 k} = \frac{(2 k - 1)!!}{(2 a)^{k}} \sqrt{\frac{π}{a}}$
ここで $(2 k - 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2 k - 1)$ は二重階乗を表す．

特に $k = 0$ の場合，

I_{0} = \sqrt{\frac{π}{a}}

が得られる．

計算例

例

$k = 1$ のとき（ $n = 2$ ）

I_{2} = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} e^{- a x^{2}} d x

一般式

I_{2 k} = \frac{(2 k - 1)!!}{(2 a)^{k}} \sqrt{\frac{π}{a}}

より，

I_{2} = \frac{(2 \cdot 1 - 1)!!}{(2 a)^{1}} \sqrt{\frac{π}{a}} = \frac{1}{2 a} \sqrt{\frac{π}{a}}

$t$ 次モーメントの計算

計算

標準正規分布 $X \sim N (0, 1)$ に対し，

E [X^{t}] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{t} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} d x

偶奇で場合分け

$t$ が奇数のとき
integrand は奇関数となるので
$E [X^{t}] = 0$
$t = 2 k$ が偶数のとき
ガウス積分の公式を用いると
$E [X^{2 k}] = (2 k - 1)!!$
が得られる．
ここで $(2 k - 1)!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2 k - 1)$ は二重階乗である．

したがって，標準正規分布の $t$ 次モーメントは

E [X^{t}] = {\begin{cases} 1 & (t = 0) \\ 0 & (t が奇数) \\ (2 k - 1)!! & (t = 2 k \geq 2) \end{cases}

で与えられる．

標準正規分布の t 次モーメント

標準正規分布の t 次モーメント

ガウス積分

計算例

$t$ 次モーメントの計算

参考文献

増訂版日本統計学会公式認定統計検定１級対応統計学

新装改訂版　現代数理統計学

標準正規分布の t 次モーメント

標準正規分布の t 次モーメント

ガウス積分

計算例

t 次モーメントの計算

参考文献

増訂版 日本統計学会公式認定 統計検定１級対応 統計学

新装改訂版 現代数理統計学

$t$ 次モーメントの計算

増訂版日本統計学会公式認定統計検定１級対応統計学

新装改訂版　現代数理統計学