2012年統計数理問1

Takeda Katsuji2025/10/13約3分

2012年統計数理問1

日本統計学会公式認定統計検定 1級公式問題集[2012〜2013年]
日本統計学会
過去問2012年・2013年
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一様分布の順序統計量に関する問題です。順序統計量は計算は簡単ですが考え方が特殊です。
この問題を解く前に竹村彰通の現代数理統計学 p82 4.7を学んでおくことをおすすめします。

[1] 確率積分変換

解答

確率変数 $U$ の累積分布関数を $G (u)$ とする.

\begin{aligned} G (u) & = P r (U \leq u) \\ = P r (F (Z) \leq u) \\ = P r (Z \leq F^{- 1} (u)) \\ = F (F^{- 1} (u)) \\ = u \end{aligned}

これは区間 $(0, 1)$ の一様分布の累積分布関数であるため, $U$ は区間 $(0, 1)$ の一様分布に従う.

この問題のように連続な累積分布関数をもつ確率変数について, 累積分布関数で変数変換することを 確率積分変換 といいます. また確率積分変換した確率変数は区間 $(0, 1)$ の一様分布に従います.

[2] 確率密度関数

この大問の山場と言える問題で順序統計量の基本が詰まっています。

解説

確率変数列 ${U_{j}}_{j = 1, 2, 3}$ の最小値、最大値、中央値を次のように表します.

最小値: $X_{1} = min (U_{1}, U_{2}, U_{3})$
中央値: $X_{2} = med (U_{1}, U_{2}, U_{3})$
最大値: $X_{3} = max (U_{1}, U_{2}, U_{3})$

解答

最大値

最大値 $X_{3} = max (U_{1}, U_{2}, U_{3})$ の累積分布関数を $G_{3} (x) = P r (X_{3} \leq x)$ とする.

\begin{aligned} G_{3} (x) & = P r (X_{3} \leq x) \\ = P r (max (U_{1}, U_{2}, U_{3}) \leq x) \end{aligned}

${max (U_{1}, U_{2}, U_{3}) \leq x}$ という事象は $U_{1}, U_{2}, U_{3}$ がすべて $x$ 以下という事象と同値 であるため,
$U_{1}, U_{2}, U_{3}$ が互いに独立であることを用いて,

\begin{aligned} G_{3} (x) & = P r (max (U_{1}, U_{2}, U_{3}) \leq x) \\ = P r (U_{1} \leq x, U_{2} \leq x, U_{3} \leq x) \\ = P r (U_{1} \leq x) \cdot P r (U_{2} \leq x) \cdot P r (U_{3} \leq x) \\ = x \cdot x \cdot x \\ = x^{3} \end{aligned}

したがって確率密度関数は

\begin{array}{r} g_{3} (x) = \frac{\partial}{\partial x} G_{3} (x) = 3 x^{2} \end{array}

最小値

最小値 $X_{1} = min (U_{1}, U_{2}, U_{3})$ の累積分布関数を $G_{1} (x) = P r (X_{1} \leq x)$ とする.

\begin{aligned} G_{1} (x) & = P r (X_{1} \leq x) \\ = 1 - P r (X_{1} > x) \\ = 1 - P r (min (U_{1}, U_{2}, U_{3}) > x) \end{aligned}

${min (U_{1}, U_{2}, U_{3}) > x}$ という事象は $U_{1}, U_{2}, U_{3}$ がすべて $x$ より大きいという事象と同値 であるため,
$U_{1}, U_{2}, U_{3}$ が互いに独立であることを用いて,

\begin{aligned} P r (min (U_{1}, U_{2}, U_{3}) > x) & = P r (U_{1} > x, U_{2} > x, U_{3} > x) \\ = P r (U_{1} > x) \cdot P r (U_{2} > x) \cdot P r (U_{3} > x) \\ = (1 - x) \cdot (1 - x) \cdot (1 - x) \\ = (1 - x)^{3} \end{aligned}

よって

\begin{array}{r} G_{1} = 1 - (1 - x)^{3} \end{array}

したがって確率密度関数は

\begin{array}{r} g_{1} (x) = \frac{\partial}{\partial x} G_{1} (x) = 3 (1 - x)^{2} \end{array}

中央値

中央値 $X_{2} = med (U_{1}, U_{2}, U_{3})$ の累積分布関数を $G_{2} (x) = P r (X_{2} \leq x)$ とする.

\begin{aligned} G_{2} (x) & = P r (X_{2} \leq x) \\ = 1 - P r (X_{2} > x) \\ = 1 - P r (med (U_{1}, U_{2}, U_{3}) > x) \end{aligned}

${med (U_{1}, U_{2}, U_{3}) > x}$ という事象は 少なくとも2個以上が $x$ より大きいという事象と同値 であるため,
以下の二通りが考えられる.

$U_{1}, U_{2}, U_{3}$ のうち二つが $x$ 以上

\begin{array}{r} _{3} C_{2} (1 - x)^{2} x = 3 x (1 - x)^{2} \end{array}

$U_{1}, U_{2}, U_{3}$ すべてが $x$ 以上

\begin{array}{r} _{3} C_{3} (1 - x)^{3} = (1 - x)^{3} \end{array}

二つの事象は互いに排反であるため $P r (med (U_{1}, U_{2}, U_{3}) > x)$ は,

\begin{array}{r} P r (med (U_{1}, U_{2}, U_{3}) > x) = 3 x (1 - x)^{2} + (1 - x)^{3} \end{array}

したがって $G_{2} (x)$ と確率密度関数 $g_{2} (x)$ は,

\begin{aligned} G_{2} (x) & = 1 - 3 x (1 - x)^{2} - (1 - x)^{3} \\ g_{2} (x) & = \frac{\partial}{\partial x} G_{2} (x) = 6 x (1 - x) \end{aligned}

\begin{aligned} E [X_{3}] & = \int_{0}^{1} x \times 3 x^{2} d x \\ = \frac{3}{4} \end{aligned}

最小値の期待値

\begin{aligned} E [X_{1}] & = \int_{0}^{1} x \times 3 (1 - x) * * 2 d x \\ = \frac{1}{4} \end{aligned}

中央値の期待値

\begin{aligned} E [X_{2}] & = \int_{0}^{1} x \times 6 x (1 - x) d x \\ = \frac{1}{2} \end{aligned}

2012年統計数理問1

2012年統計数理問1

日本統計学会公式認定統計検定 1級公式問題集[2012〜2013年]

[1] 確率積分変換

[2] 確率密度関数

最大値

最小値

中央値

それぞれのグラフ

期待値

最大値の期待値

最小値の期待値

中央値の期待値

参考文献

日本統計学会公式認定統計検定 1級公式問題集[2012〜2013年]

増訂版日本統計学会公式認定統計検定１級対応統計学

新装改訂版　現代数理統計学

2012年 統計数理 問1

2012年統計数理問1