マルコフの不等式

Takeda Katsuji2025/10/24約1分

マルコフの不等式の証明

定義

確率変数 $X$ が可積分（ $E [| X |] < \infty$ ）であるとする.
任意の $a > 0$ に対して次が成り立つ:

P (| X | \geq a) \leq \frac{E [| X |]}{a} .

証明

確率変数 $Y$ を次で定義する:

Y = {\begin{cases} a, & if | X | \geq a, \\ 0, & if | X | < a . \end{cases}

このとき $Y \leq | X |$ が成り立つ.
したがって期待値をとると

E [Y] \leq E [| X |] .

一方で $Y = a$ となるのは $| X | \geq a$ のときのみなので,

E [Y] = a P (| X | \geq a) .

以上より

a P (| X | \geq a) \leq E [| X |] .

両辺を $a$ で割って

P (| X | \geq a) \leq \frac{E [| X |]}{a} .

証明完了.

解説

マルコフの不等式には解釈しやすい形があります. $k = \frac{a}{E [| X |]}$ とおくと,

\begin{array}{r} P (| X | \geq k E [| X |]) \leq \frac{1}{k} \end{array}

つまり, 期待値の $k$ 倍以上になる確率は $\frac{1}{k}$ 以下

たとえばマルコフの不等式を使用すると、平均年収が500万円のとき、年収が1000万以上となる確率は50%以下 ということがわかります.
ちなみに実際の日本の年収で1000万以上は5~6%程と言われていますので, マルコフの不等式はかなり大雑把に上から抑えています.

$X \sim N (0, 1)$ とすると,マルコフの不等式は

\begin{array}{r} P (| X | \geq k E [| X |]) \leq \frac{1}{k} \end{array}

この左辺を赤、右辺を青でプロットした図がこちらです.

グラフからもわかるように常に $\frac{1}{k}$ で上から抑えられています.