標準正規分布の性質

Takeda Katsuji2025/09/22約2分

標準正規分布の性質

解説

この記事では標準正規分布の $t$ 次モーメントを既知とします.

詳しく知りたい方は➡標準正規分布の $t$ 次モーメントをご覧ください.

正規分布のうち，平均が $0$ ，分散が $1$ の場合を特に 標準正規分布 といいます．

定義

一般の正規分布 $X \sim N (μ, σ^{2})$ に対し，
変数変換

Z = \frac{X - μ}{σ}

を行うと，

Z \sim N (0, 1)

となる．

正規分布の多くの性質は，この標準化によって 標準正規分布の性質から導出 できます．

そのため，標準正規分布に関する積分公式や累積分布関数を整理しておくと，他の正規分布の性質も容易に導けます．

1. 確率密度関数

確率密度関数 (PDF)

標準正規分布 $Z \sim N (0, 1)$ の確率密度関数は

f (z) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{z^{2}}{2})

確率密度関数のグラフ

2. 累積分布関数

累積分布関数 (CDF)

F (z) = \int_{- \infty}^{z} f (t) d t = \frac{1}{2} [1 + \erf (\frac{z}{\sqrt{2}})]

誤差関数

閉じた形での積分は存在しないため，誤差関数 $\erf$ を用いる：

\erf (u) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{u} e^{- t^{2}} d t

累積分布関数のグラフ

3. 期待値

期待値

E [Z] = 0

導出の手順はこちら

導出

\begin{aligned} E [Z] & = \int_{- \infty}^{\infty} z f (z) d z \\ = \int_{- \infty}^{\infty} z \cdot \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{z^{2}}{2}) d z \end{aligned}

被積分関数は奇関数なので，

E [Z] = 0

4. 分散

分散

V [Z] = 1

導出の手順はこちら

導出

\begin{aligned} V [Z] & = E [Z^{2}] - (E [Z])^{2} \\ = \int_{- \infty}^{\infty} z^{2} f (z) d z - 0^{2} \\ = \int_{- \infty}^{\infty} z^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{z^{2}}{2}) d z \end{aligned}

既知の標準正規分布の二次モーメントより

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{z^{2}}{\sqrt{2 π}} e^{- z^{2} / 2} d z = 1

したがって

V [Z] = 1

5. 積率母関数

積率母関数 (MGF)

M_{Z} (t) = \exp (\frac{1}{2} t^{2})

導出の手順はこちら

導出

M_{Z} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{t z} f (z) d z = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{z^{2}}{2} + t z) d z

指数部を平方完成する：

- \frac{z^{2}}{2} + t z = - \frac{1}{2} (z^{2} - 2 t z) = - \frac{1}{2} [(z - t)^{2} - t^{2}]

よって

M_{Z} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (- \frac{(z - t)^{2}}{2}) d z \cdot e^{t^{2} / 2}

積分は正規分布の全積分で $= 1$ だから

M_{Z} (t) = e^{t^{2} / 2}

6. 特性関数

特性関数 (CF)

φ_{Z} (t) = \exp (- \frac{1}{2} t^{2})

導出の手順はこちら

導出

積率母関数 $M_{Z} (t) = e^{t^{2} / 2}$ の $t \mapsto i t$ 置換で得られる：

φ_{Z} (t) = M_{Z} (i t) = \exp (- \frac{1}{2} t^{2})

標準正規分布の性質

標準正規分布の性質

1. 確率密度関数

2. 累積分布関数

3. 期待値

4. 分散

5. 積率母関数

6. 特性関数

参考文献

増訂版日本統計学会公式認定統計検定１級対応統計学

新装改訂版　現代数理統計学