t検定について概要解説

統計検定の過去問題でt検定は頻出します.t検定には複数種類がありますが本質は 母平均に関する検定 であるということです.

記事紹介

本記事では $T$ 分布, カイ二乗分布を使用します.詳しくはこちらから！

Ｔ分布の性質

---

定義

カイ二乗分布の性質

---

再生性

またt検定には仮定が存在します.

仮定

• データが 正規分布 に従っている
• データの 分散が未知 である (既知の場合はZ検定)

またt検定の種類として

t検定の種類

• 1標本t検定 (平均はこの値であってるのか？)

• 2標本(対応あり)
  たとえば 「手術前後の同一患者の歩行速度に差はあるか」 のように組が作れるもの
  2標本の差 $z_i=y_i-x_i$ をとって差の母平均を検定する1標本t検定に帰着

• 2標本(対応ない)
  たとえば 「都市部校と農村部校のテスト得点平均」 のように独立しているもの

  • 2標本t検定（二つの分散が等しい集団の平均に差はあるか？ ）
  • ウェルチのt検定 (二つの分散が異なる集団の平均に差はあるか？)

などがありますが、すべて 1標本t検定の派生 と考えられるでしょう.

ではt検定の種類を具体例とともに見ていきます.

1標本のt検定

問題設定

$\{X_i{\}}_{i=1}^n$ は独立同分布の正規分布に従い, 分散 ${\sigma }^2$ は未知とする.

$$X_1,\dots ,X_n\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2).$$

仮説

帰無仮説 $H_0:\mu ={\mu }_0$.
対立仮説 $H_1:\mu \ne {\mu }_0$（両側）. (片側は $\mu >{\mu }_0$ または $\mu <{\mu }_0$.)

統計量

• 標本平均 $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$
• 不偏分散 $S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$

をもちいて統計量 $T$ は帰無仮説のもとで,

$$T=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}\stackrel{H_0}{\sim }{t}_{n-1}.$$

で表せる.

T統計量が自由度 $n-1$の $t$ 分布になることの証明

公式を暗記しているとこんな疑問がでてきます.公式では $n$ しかないのに、自由度は$n-1$です.
結論から言うとこの $n-1$ は不偏分散からでてきたものです.
では流れを踏まえて丁寧に証明していきましょう

方針

1. $t$ 分布の定義の形を目指す
2. 標準正規分布を作成
3. カイ二乗分布を作成
4. 公式を作成

1. $t$ 分布の定義の形を目指す

$t$ 分布の定義は,

$$\begin{array}{r}T=\frac{Z}{\sqrt{X/n}}\sim t(n)\end{array}$$

ただし $Z\sim \mathcal{N}(0,1),X\sim \chi 2(n)$ .

つまり 分母のカイ二乗分布の自由度が全体のt分布の自由度と一致 します.

2. 標準正規分布の作成

$\{X_i{\}}_{i=1}^n$ は独立同分布の正規分布に従い, 分散 ${\sigma }^2$ は未知とする.

$$X_1,\dots ,X_n\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2).$$

したがって $\overline{X}\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2/n)$

これを標準化すると

$$\begin{array}{rl}Z& =\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{{\sigma }^2/n}}\sim \mathcal{N}(0,1)\end{array}$$

3. カイ二乗分布の作成

不偏分散を $S^2$ とする

$$\begin{array}{rl}{S}^2& =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2\\ (n-1)S^2& =\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2\\ (n-1)S^2& =\sum _{i=1}^n{\{(X_i-\mu )-(\overline{X}-\mu )\}}^2\\ (n-1)S^2& =\sum _{i=1}^n\{(X_i-\mu {)}^2-2(X_i-\mu )(\overline{X}-\mu )+(\overline{X}-\mu {)}^2\}\\ (n-1)S^2& =\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2-2(\overline{X}-\mu )\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )+\sum _{i=1}^n(\overline{X}-\mu {)}^2\\ (n-1)S^2& =\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2-n(\overline{X}-\mu {)}^2\end{array}$$

ここで両辺を ${\sigma }^2$で割ると,

$$\begin{array}{rl}\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}& =\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2-n{\left(\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma }\right)}^2\\ \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}& =\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2-{\left(\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{{\sigma }^2/n}}\right)}^2\end{array}$$

ここで,

$$\begin{array}{rl}{Z}_i& =\frac{X_i-\mu }{\sigma }\sim \mathcal{N}(0,1)\\ Z& =\frac{\overline{X}-\mu }{\sqrt{{\sigma }^2/n}}\sim \mathcal{N}(0,1)\end{array}$$

であるから, $Z_i^2,Z^2$ は自由度 $1$のカイ二乗分布に従い,

$$\begin{array}{rl}\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}& =\sum _{i=1}^n{Z}_i^2-Z^2\end{array}$$

右辺第一項は再生性より ${\chi }^2(n)$. よって コクランの定理から

$$\begin{array}{r}\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim \chi 2(n-1)\end{array}$$

ヒント

コクランの定理を簡単に説明すると
分解されたカイ二乗分布は自由度を足し引きできるということです.

イメージ:

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{Z}_i^2& =\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}+Z^2\\ \chi 2(n)& =\chi 2(\nu )+\chi 2(1)\\ n& =\nu +1\\ \nu & =n-1\end{array}$$

4. T統計量の公式の導出

上記の1~3から $T$ 統計量を導出すると

$$\begin{array}{rl}T& =\frac{Z}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}/(n-1)}}\sim t(n-1)\\ & =\frac{Z}{\sqrt{\frac{S^2}{{\sigma }^2}}}\\ & =\frac{Z}{S/\sigma }\\ & =Z\cdot \frac{\sigma }{S}\\ & =\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\cdot \frac{\sigma }{S}\\ & =\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\end{array}$$

まとめ

自由度が $n-1$ になるのは, 不偏分散の分母 $n-1$ に対応しています.

また不偏分散を利用するときれいに未知分散 ${\sigma }^2$ が消えて、
推定・検定できる形になります.

例題

1. 両側検定

問題設定

外来高血圧患者の平均収縮期血圧がガイドライン基準 ${\mu }_0=140$ mmHg と異なるか検定する.
標本サイズ $n=25$, 標本平均 $\overline{x}=134.0$ mmHg, 標本標準偏差 $s=10.0$ mmHg.
母分散は未知, 各測定は正規分布からの独立標本と仮定する.

仮説

$H_0:\mu =140vs{H}_1:\mu \ne 140$（有意水準 $\alpha =0.05$）.

検定統計量

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\\ & =\frac{134.0-140}{10.0/\sqrt{25}}\\ & =\frac{-6.0}{2.0}\\ & =-3.0.\end{array}$$

自由度は $\nu =n-1=24$

判定

自由度24の $t$ 分布臨界値は $t_{0.975}\approx 2.064$.
$|t|=3.0>2.064$ より $H_0$ を棄却.

結論

平均収縮期血圧は $140$ mmHg と有意に異なる（本標本では平均で低い）.

2. 片側検定

問題設定

糖尿病外来の集団で平均HbA1cがガイドライン基準 ${\mu }_0=7.0\mathrm{\%}$ より高いかを検定する.
標本サイズ $n=30$, 標本平均 $\overline{x}=7.4\mathrm{\%}$, 標本標準偏差 $s=0.7\mathrm{\%}$. 母分散は未知, 各測定は正規分布からの独立標本.

仮説

$H_0:\mu =7.0vs{H}_1:\mu >7.0$（有意水準 $\alpha =0.05$）.

検定統計量

$$t=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{7.4-7.0}{0.7/\sqrt{30}}=\frac{0.4}{0.1278}\approx 3.13,\nu =n-1=29.$$

判定

臨界値 $t_{0.95}\approx 1.699$.
$t=3.13>1.699$ より $H_0$ を棄却

結論

平均HbA1cは $7.0\mathrm{\%}$ より有意に高い.

参考文献

増訂版 日本統計学会公式認定 統計検定１級対応 統計学

日本統計学会

統計検定1級公式教本 網羅的に記述してあるので辞書的に使うことをおすすめします

Amazonで見る 楽天で見る

新装改訂版　現代数理統計学

竹村 彰通

統計検定1級対策に定番の書籍 難易度は高めだが演習問題も豊富

Amazonで見る 楽天で見る