2012年統計数理問2

Takeda Katsuji2025/11/28約3分

2012年統計数理問2

日本統計学会公式認定統計検定 1級公式問題集[2012〜2013年] — 日本統計学会公式認定統計検定 1級公式問題集[2012〜2013年]
日本統計学会
過去問2012年・2013年
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カイ二乗分布に関する基礎的な問題です.
積率母関数から変数変換・最大値まで完答したい問題ですね.
カイ二乗分布の詳しい解説はこちらをご覧ください！

カイ二乗分布の性質

期待値・分散・モーメント母関数

[1] モーメント母関数

モーメント母関数の定義

\begin{aligned} M_{X} (t) & = E [e^{t X}] \end{aligned}

解答

確率変数 $X$ のモーメント母関数は,

\begin{aligned} M_{X} (t) & = E [e^{t X}] \\ = \int_{0}^{\infty} e^{t x} \frac{1}{2^{m / 2} Γ (m / 2)} x^{m / 2 - 1} e^{- x / 2} d x \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2^{m / 2} Γ (m / 2)} x^{m / 2 - 1} e^{- (1 - 2 t) x / 2} d x \end{aligned}

$u = (1 - 2 t) x$ とおくと,

\begin{aligned} M_{X} (t) & = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2^{m / 2} Γ (m / 2)} {(\frac{u}{1 - 2 t})}^{m / 2 - 1} e^{- u / 2} (1 - 2 t)^{- 1} d u \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2^{m / 2} Γ (m / 2)} (1 - 2 t)^{- m / 2} u^{m / 2 - 1} e^{- u / 2} d u \\ = \frac{1}{2^{m / 2} Γ (m / 2)} (1 - 2 t)^{- m / 2} \int_{0}^{\infty} u^{m / 2 - 1} e^{- u / 2} d u \\ = \frac{1}{2^{m / 2} Γ (m / 2)} (1 - 2 t)^{- m / 2} 2^{m / 2} Γ (m / 2) \\ = (1 - 2 t)^{- m / 2} \end{aligned}

[2] 再生性

解答

確率変数 $X, Y$ が互いに独立であるとき $Z = X + Y$ のモーメント母関数は,

\begin{aligned} M_{Z} (t) & = M_{X} (t) M_{Y} (t) \end{aligned}

とかける. したがって

\begin{aligned} M_{Z} (t) & = (1 - 2 t)^{- m / 2} (1 - 2 t)^{- n / 2} \\ = (1 - 2 t)^{- \frac{m + 2}{2}} \end{aligned}

これは自由度 $m + n$ のカイ二乗分布のモーメント母関数と一致するので, $Z$ は自由度 $m + n$ のカイ二乗分布である.

[3] 変数変換

方針

逆変換を求める
ヤコビアンを計算する
同時確率密度関数 $f (w, z) = f (x, y) | J |$ を計算する
$z$ で周辺化して $f (w)$ を求める. $f (w) = \int_{0}^{\infty} f (w, z) d z$

解答

$z = x + y, w = \frac{x}{x + y}$ で変数変換すると.

逆変換
$\begin{array}{r} x = w z, y = z (1 - w) \end{array}$
ヤコビアン $| J |$
$\begin{aligned} | J | & = | \begin{array}{c} \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial z} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} z & w \\ - z & 1 - w \end{array} | \\ = z \end{aligned}$

したがって $(W, Z)$ の同時確率密度関数は,

\begin{aligned} f (w, z) & = f (x, y) | J | \\ = f_{X} (x) f_{Y} (y) | J | \\ = f_{X} (w z) f_{Y} (z (1 - w)) | J | \end{aligned}

ここで $f_{X} (w z), f_{Y} (z (1 - w))$ は,

\begin{aligned} f_{X} (w z) & = \frac{1}{2^{m / 2} Γ (m / 2)} (w z)^{m / 2 - 1} e^{- w z / 2} \\ f_{Y} (z (1 - w)) & = \frac{1}{2^{n / 2} Γ (m / 2)} {z (1 - w)}^{n / 2 - 1} e^{- z (1 - w) / 2} \end{aligned}

したがって,

\begin{aligned} f (w, z) & = \frac{1}{2^{m / 2} Γ (m / 2)} (w z)^{m / 2 - 1} e^{- w z / 2} \frac{1}{2^{n / 2} Γ (m / 2)} {z (1 - w)}^{n / 2 - 1} e^{- z (1 - w) / 2} z \\ = \frac{1}{2^{\frac{m + 2}{2} Γ (m / 2) Γ (n / 2)}} w^{\frac{m}{2} - 1} (1 - w)^{\frac{n}{2} - 1} z^{\frac{m + n}{2} - 1} e^{- z / 2} \end{aligned}

$z$ で周辺化すると,

\begin{aligned} f_{W} (w) & = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2^{\frac{m + 2}{2} Γ (m / 2) Γ (n / 2)}} w^{\frac{m}{2} - 1} (1 - w)^{\frac{n}{2} - 1} z^{\frac{m + n}{2} - 1} e^{- z / 2} d z \\ = \frac{w^{\frac{m}{2} - 1} (1 - w)^{\frac{n}{2} - 1}}{2^{\frac{m + 2}{2} Γ (m / 2) Γ (n / 2)}} \int_{0}^{\infty} z^{\frac{m + n}{2} - 1} e^{- z / 2} d z \\ = \frac{w^{\frac{m}{2} - 1} (1 - w)^{\frac{n}{2} - 1}}{2^{\frac{m + 2}{2} Γ (m / 2) Γ (n / 2)}} 2^{\frac{m + 2}{2} Γ (\frac{m + n}{2})} \\ = \frac{w^{\frac{m}{2} - 1} (1 - w)^{\frac{n}{2} - 1}}{Γ (m / 2) Γ (n / 2)} Γ (\frac{m + n}{2}) \\ = \frac{Γ (\frac{m + n}{2})}{Γ (m / 2) Γ (n / 2)} w^{\frac{m}{2} - 1} (1 - w)^{\frac{n}{2} - 1} \\ = \frac{1}{B (m / 2, n / 2)} w^{\frac{m}{2} - 1} (1 - w)^{\frac{n}{2} - 1} (∴ B (m / 2, n / 2) = \frac{Γ (m / 2) Γ (n / 2)}{Γ (\frac{m + n}{2})}) \end{aligned}

これはパラメータ $(m / 2, n / 2)$ のベータ分布である.

[4] 最大値

方針

\begin{aligned} f_{W} (w) & = \frac{1}{B (m / 2, n / 2)} w^{\frac{m}{2} - 1} (1 - w)^{\frac{n}{2} - 1} \\ \frac{d}{d w} f_{W} (w) & = \frac{d}{d w} \frac{1}{B (m / 2, n / 2)} w^{\frac{m}{2} - 1} (1 - w)^{\frac{n}{2} - 1} = 0 \end{aligned}

最大値をとる $w$ は微分して $0$ とおけば求められます。

解答

$a = \frac{m}{2} - 1$ , $b = \frac{n}{2} - 1$ とおくと,

\begin{aligned} \frac{d}{d w} w^{a} (1 - w)^{b} & = 0 \\ a w^{a - 1} (1 - w)^{b} - b w^{a} (1 - b)^{b - 1} & = 0 \\ w^{a - 1} (1 - w)^{b - 1} {a - (a + b) w} & = 0 \\ w = 0, 1, & \frac{a}{a + b} \\ w = 0, 1, & \frac{m - 2}{m + n - 4} \end{aligned}

ここで $f_{W} (0) = f_{W} (1) = 0, f_{W} (\frac{m - 2}{m + n - 4}) > 0$ 　より $\frac{m - 2}{m + n - 4}$ が最大値をとる

参考文献

日本統計学会公式認定統計検定 1級公式問題集[2012〜2013年] — 日本統計学会公式認定統計検定 1級公式問題集[2012〜2013年]
日本統計学会
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