ラグランジュの剰余項

Takeda Katsuji2025/10/30約3分

ラグランジュの剰余項

ラグランジュの剰余項の定義

解説

統計学で行われる近似手法ではマクローリン展開・テイラー展開後に $n + 1$ 次以降を 剰余項 で書くことがあります.
$n + 1$ 次以降を 剰余項 といい,　この記事ではそのなかでも ラグランジュの剰余項 を紹介します.

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} + \sum_{k = n + 1}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} \\ = P_{n} (x) + R_{n} (x) \end{aligned}

$R_{n} (x)$ を剰余項という.
$P_{n} (x)$ は $f (x)$ の近似式, $R_{n} (x)$ はその誤差として考えるとわかりやすいです.

複数回微分表記

$f$ の $n$ 回微分を $f^{(n)}$ と表記しています

ラグランジュの剰余項の定義

$f$ は区間 $[0, x]$ で $n + 1$ 回連続微分可能とする.

\begin{aligned} P_{n} (x) & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} \\ R_{n} (x) & = f (x) - P_{n} (x) \end{aligned}

$\exists ξ \in (0, x)$ のとき,

\begin{array}{r} R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} x^{n + 1} \end{array}

$R_{n} (x)$ を ラグランジュの剰余項 という.

オーダー表記とラグランジュの剰余項

解説

ラグランジュの剰余項は

R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} x^{n + 1}, ξ \in (0, x)

と表される.

このとき $| f^{(n + 1)} (ξ) |$ が有界なら

| R_{n} (x) | \leq \frac{M}{(n + 1)!} | x |^{n + 1}

が成り立ち,

R_{n} (x) = O (| x |^{n + 1})

と書ける.

つまり $x$ が $0$ に近づくとき, 誤差 $R_{n} (x)$ は $| x |^{n + 1}$ に定数倍かけた程度以下 になるということです.

ラグランジュの剰余項の証明

証明

マクローリン展開

$f$ を区間 $[0, x]$ で $n + 1$ 回連続微分可能であるとき,
$f$ をマクローリン展開すると,

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} \end{aligned}

ここで

\begin{aligned} P_{n} (x) & := \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (0)}{k!} x^{k} \\ R_{n} (x) & := f (x) - P_{n} (x) \end{aligned}

とする.

補助関数

これ以降便宜上 $x$ を $c_{0}$ で書く.

ここで補助関数 $g (t)$ を定数 $A$ を用いて, $g (c_{0}) = 0$ となるように定義する.

\begin{array}{r} g (t) = f (t) - P_{n} (t) - A t^{n + 1} \end{array}

$g (c_{0}) = 0$ より,

\begin{aligned} g (c_{0}) & = f (c_{0}) - P_{n} (c_{0}) - A c_{0}^{n + 1} = 0 \\ A & = \frac{f (c_{0}) - P_{n} (c_{0})}{c_{0}^{n + 1}} \end{aligned}

したがって,

\begin{array}{r} g (t) = f (t) - P_{n} (t) - \frac{f (c_{0}) - P_{n} (c_{0})}{c_{0}^{n + 1}} t^{n + 1} \end{array}

また $f (0) = P_{n} (0)$ より $g (0) = 0$ , したがって $g (t)$ は区間 $[0, c_{0}]$ に対して,

\begin{aligned} g (0) & = 0, g (c_{0}) = 0 \end{aligned}

ロルの定理

$f^{(n)} (0) = P_{n}^{(n)} (0)$ より常に $g^{(n)} (0) = 0$

$g (t)$ の $1$ 階微分 $g^{(1)} (t)$ は,

\begin{array}{r} g^{(1)} (t) = f^{(1)} (t) - P_{n}^{(1)} (t) - \frac{n + 1}{c_{0}^{n + 1}} (f (c_{0}) - P_{n} (c_{0})) t^{n} \end{array}

とかける.

ロルの定理より $\exists c_{1} \in (0, c_{0}), g^{(1)} (c_{1}) = 0$

したがって $g^{(1)} (t)$ は区間 $[0, c_{1}]$ に対して,

\begin{aligned} g^{(1)} (0) & = 0, g^{(1)} (c_{1}) = 0 \end{aligned}

これを $g^{(n + 1)}$ まで繰り返す. 簡潔に表にすると,

関数	区間	ロルの定理	$c_{j}$ の範囲
$g^{(1)} (t)$	$[0, c_{0}]$	$g^{(1)} (c_{1}) = 0$	$0 < c_{1} < c_{0}$
$g^{(2)} (t)$	$[0, c_{1}]$	$g^{(2)} (c_{2}) = 0$	$0 < c_{2} < c_{1}$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
$g^{(n)} (t)$	$[0, c_{n - 1}]$	$g^{(n)} (c_{n}) = 0$	$0 < c_{n} < c_{n - 1}$
$g^{(n + 1)} (t)$	$[0, c_{n}]$	$g^{(n + 1)} (c_{n + 1}) = 0$	$0 < c_{n + 1} < c_{n}$

読み方は, [関数] は [区間] に [ロルの定理] を満たす $c_{j}$ が [ $c_{j}$ の範囲] に存在する

$c_{n + 1}$ は $0 < c_{n + 1} < c_{n} < \dots < c_{0} = x$ より $0 < c_{n + 1} < x$
$c_{n + 1} = ξ, c_{0} = x$ とする.

\begin{aligned} g^{(n + 1)} (ξ) & = f^{(n + 1)} (ξ) - P_{n}^{(n + 1)} (ξ) - \frac{(n + 1)!}{x^{n + 1}} (f (x) - P_{n} (x)) \end{aligned}

ここで $P_{n} (t)$ は $n$ 次多項式より $P_{n}^{(n + 1)} (t) = 0$

また $R_{n} (x) = f (x) - P_{n} (x)$ より

\begin{aligned} g^{(n + 1)} (ξ) & = f^{(n + 1)} (ξ) - \frac{(n + 1)!}{x^{n + 1}} R_{n} (x) = 0 \\ R_{n} (x) & = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} x^{n + 1} \end{aligned}

これで証明終了.

ラグランジュの剰余項

ラグランジュの剰余項

ラグランジュの剰余項の定義

オーダー表記とラグランジュの剰余項

ラグランジュの剰余項の証明

マクローリン展開

補助関数

ロルの定理

参考文献

増訂版日本統計学会公式認定統計検定１級対応統計学

新装改訂版　現代数理統計学

妥協しないデータ分析のための微積分+線形代数入門